ज्यामिति में त्रिभुज (परिभाषा, आकार, प्रकार, गुण और उदाहरण) | Triangles in Geometry | Triangle in Hindi

यह पोस्ट आपके लिए बहुत हेल्पफुल हो सकती है। दोस्तों इस पोस्ट में हम लोग त्रिभुज ( Triangles ) के बारे में जानेंगे तथा उसके साथ-साथ त्रिभुज के प्रकार ( Triangle Types ) तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल ( Triangle of Area ) से संबंधित कुछ परिभाषाएं भी सीखेंगे और यही नहीं हर त्रिभुज के प्रॉब्लम्स (triangle problem) भी क्लियर करते चलेंगे। दोस्तों इस पोस्ट के बाद आप यह नहीं कहोगे कि हमें त्रिभुज  के प्रश्न करने नहीं आ रहे हैं। हम आम तौर पर तो अपनी कक्षाओं में पढ़ते हुए त्रिभुज बचपन से आ रहे हैं। लेकिन इस पोस्ट में हमने त्रिभुज कुछ खास तरीके से लिखा है। अगर आप लोगों को पसंद आए और आपकी मदद हो पाए तो मुझे भी बहुत खुशी होगी। तो आइए दोस्तों हम लोग त्रिभुज के बारे में जानते हैं।

त्रिभुज ( Triangle )

                          हम सभी लोग अपनी कक्षाओं में कुछ इस प्रकार त्रिभुज की परिभाषा को पढ़ते हैं  'तीन भुजाओं से बनी एक बंद आकृति को त्रिभुज कहते हैं'  मैं कुछ इस प्रकार आप लोगों को इसकी परिभाषा बताना चाहूंगा " एक ऐसी तीन रेखाखंडों से घिरी हुई समतलीय बंद आकृति त्रिभुज कहलाती है"  त्रिभुज में तीन भुजाएं वा तीन कोण होते हैं। तीनों कोणों का योग 180⁰ होता है। 

• त्रिभुज के तीन भुजाएँ-  XY, YZ, ZX
• त्रिभुज के तीन कोण - X, Y, Z 

त्रिभुज के प्रकार (Type of Triangle)

त्रिभुज को मुख्यतः दो भागो में विभाजित किया है। पहला भुजाओं के आधार पर तथा दूसरा कोणों  के आधार पर इसके साथ इन दोनों को भी तीन-तीन भागों में विभाजित किया गया है। 

भुजाओं के आधार पर त्रिभुज के प्रकार ( Types of Triangles on the Besis of Sides )

    एक ऐसा शेप जो तीन भुजीय हो वह त्रिभुज होता है। भुजाओं के आधार पर त्रिभुज को तीन भागों में विभाजित किया गया है। 

1.  समबाहु त्रिभुज ( Equilateral Triangle )
2.  समद्विबाहु त्रिभुज ( Isosceles Triangle )
3.  विषमबाहु त्रिभुज ( Scalene Triangle )

1.  समबाहु त्रिभुज ( Equilateral Triangle )

          " एक ऐसा त्रिभुज जिसकी तीनो भुजा आपस में बराबर हो उसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं। " यानि की जो तीनों लाइन आपस में  मिली है वह बराबर है अब हम जान गए की जिस किसी त्रिभज की सभी लाइन आपस में बारबार हो वह हमारा एक्विलाटेरल ट्रायंगल होगा। 

△ ABC एक  समबाहु त्रिभुज है। जिसकी  भुजाएँ AB, BC और AC की लंबाइयाँ बराबर है। 

समबाहु त्रिभुज के कुछ प्रॉब्लम इस प्रकार ( Some problems of equilateral triangle are as follows) :-

Example 1. एक ऐसा त्रिभुज जिसकी भुजा 24cm है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करो?

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 (a)² 

                             = √3/4 (24)²

                             = √3/4  x  576

                             = √3/4  x 576 

                             = 144√3 cm sq.

Example 2.  यदि किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 144 सेमी वर्ग है, तो त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करो ?

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 144 cm sq.  =  √3/4 (a)²

               144       = √3/4 (a)² 

                a²         =  144  x  4 / √3              √3 का मान  = 1.73   

                a²         =  144  x  4 / 1.73 

                a²         =  576 / 1.73 

                a         =  √332.947976879

                a         =  18.2 cm 

Example 3. यदि त्रिभुज की एक भुजा 18 दी है। तो त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करों?

 त्रिभुज का परिमाप = 3 x  भुजा 

                          P = 3a

                          P = 3 x  18 

                          P = 54 cm  

समबाहु त्रिभुज के कुछ महत्वपूर्ण पॉइंट्स-

• समबाहु त्रिभुज की माध्यिका  समान होती है। 
• समबाहु त्रिभुज के तीनों भुजाएं बराबर होती हैं तथा इसके तीनों को बराबर होते हैं प्रत्येक कोण इसका 60⁰ का होता है।
• समबाहु त्रिभुज के शीर्ष से आधार पर डाला गया लंब, आधार और शीर्षकोण को समद्भिाजित करता है तथा आधार पर लंब होता है। 

2. समद्विबाहु त्रिभुज ( Isosceles Triangle )

एक ऐसा त्रिभुज जिसकी दो भुजाओं की लंबाई आपस में बराबर हो उसे समद्विबाहु त्रिभुज कहते हैं। इस त्रिभुज में दोनों भुजा जो आमने सामने होगी वह बराबर होगी तीसरी भुजा डिफरेंट होती है। तो हम लोग फिगर के मदद से इसके बारे में और कुछ जानें-

△ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज यानि की जिसमें दो भुजा बराबर हो और एक अलग हो। जैसे दिए गए चित्र में AB और AC भुजाओं की लंबाइयाँ बराबर है। 

समद्विबाहु त्रिभुज के कुछ प्रॉब्लम इस प्रकार ( Some problems of Isosceles triangle are as follows) :-

Example 1. एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका  आधार 24 सेमी और ऊचांई  34 सेमी हो?
          Solution : 

                                  h = 34 

                                  b = 24 

                                  A = ?

                                  A  = 1/2 b x h

                                  A = 1/2 x 24 x 34 

                                  A = 1/2 x 816

                                  A =  408 cm² 

Example 2. एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी दो भुजा 10 सेमी (दो समान पक्षों की लंबाई) वा 15 सेमी (आधार) दिया है तो क्षेत्रफल, ऊंचाई और परिमाप ज्ञात करें?

दिया है, a = 10 cm

             b = 15 cm

 समद्विबाहु त्रिभुज की परिमाप  = 2 a + b

                                                 = 2 (10) + 15 cm

                                                 = 20 + 15 cm

                                                 = 35 cm

 समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई h = √(a² - b² / 4)

                                                =  √(10² - 15²/4) 

                                                =  √(100 - 225/4) सेमी 

                                                = √ (100 –  56.25) सेमी 

                                                = √ 34.75 सेमी

                                             h = 5.89491306128 cm

 समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

                                                = (b × h) / 2

                                                = (10 × 5.89491306128 ) / 2 cm²

                                                = 58.9491306128/ 2 cm²

                                             A = 29.4cm²

समद्विबाहु त्रिभुज के कुछ महत्वपूर्ण पॉइंट्स-

•  यदि त्रिभुज के शीर्ष कोण का अर्द्धक, आधार को समद्भिाजित करता है, तब त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज होता है। 
•  यानी समदिबाहु त्रिभुज के आधार के मध्य-बिंदु को शीर्ष से मिलाने वाली रेखा आधार पर लंब होती है और शीर्ष कोण को समद्भिाजित करती है। 

विषमबाहु त्रिभुज Scalene Triangle:-

एक ऐसा त्रिभुज जिसकी तीनो भुजाएं आपस में बराबर ना हो उसे हम विषमबाहु त्रिभुज कहते हैं। यानी एक त्रिभुज में तीन भुजाएं होती है, और तीनों के अलग-अलग मान हो तो हम उसे स्केलेने ट्रायंगल कहते हैं। 

◢ ABC में तीनों भुजाएं असमान है, चित्र में देख सकते हैं इसलिए यह त्रिभुज विषमबाहु त्रिभुज है। 

विषमबाहु त्रिभुज के कुछ प्रॉब्लम इस प्रकार ( Some problems of Scalene triangle are as follows) :-

Example 1.  यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 8 सेमी और 9 सेमी हैं। इसकी परिमाप ज्ञात कीजिए।

Solution 
            दिया है- ◢ की भुजाएँ  =  3cm, 8cm & 9cm
                               P       =     a + b + c
                               P       =      3 + 8 + 9
                               P       =   20cms

Example 2. विषमबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ  9 सेमी, 4 सेमी और 3 सेमी दी हुई है।

            माना भुजा  a =  9 
                              b = 4 
                              c = 3 
                        S = a + b + c / 2
                        S =  9 + 4 + 3 / 2
                        S =  16 / 2
                        S =  4
क्षेत्रफल           ______________
            A =  √s(s−a)(s−b)(s−c)
                      ______________
            A =  √4(4−9)(4−4)(4−3)
                      __________
            A =  √4(−5)(0)(1)
                      ___
            A =  √20
            A =  4.47cm²

कोणों  के आधार पर त्रिभुज के प्रकार ( Types of Triangles on the Basis of Angles )

कोणों  के आधार पर त्रिभुज को तीन भागों में विभाजित किया गया हैं। यह तीनों कुछ इस प्रकार है-

समकोण त्रिभुज  ( Right Angled Triangle )

एक ऐसा त्रिभुज  जिसका एक कोण समकोण हों यानि 90⁰ का हो तो वह त्रिभुज  समकोण त्रिभुज  होगा। ⊿ कुछ इस प्रकार होगा। 

न्यूनकोण त्रिभुज  ( Acute Angled Triangle )

न्यूनकोण त्रिभुज हम उस  त्रिभुज को कहते है जिसके तीनों कोण 90⁰ से कम हो। चित्र में दिया है नीचे जिसके तीनों कोण न्यूनकोण है यानि की  90⁰ से कम है। 

अधिककोण त्रिभुज (  Obtuse Angled Triangle )

एक अधिककोण त्रिभुज वह होता है जिसका एक कोण 90⁰ से अधिक हो उसे हम अधिककोण त्रिभुज कहते हैं। 

त्रिभुज से सम्बंधित कुछ पारिभाषिक शब्द  ( Some Terminologies Related to a Triangle )

शीर्षलम्ब ( Altitude )

त्रिभुज के किसी शीर्ष से सामने वाली भुजा पर डाला गया लम्ब शीर्षलम्ब कहलाता है। 

लंबकेन्द्र -  त्रिभुज के तीनो शीर्षलम्बों का प्रतिच्छेद बिंदु लंबकेन्द्र कहलाता हैं।   

परिकेन्द्र ( Circumcentre )

किसी भी त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब-अर्द्धको के प्रतिच्छेद बिंदु को त्रिभुज का परिकेन्द्र कहते है। 

अन्तःकेंद्र ( Incenter )

   किसी भी त्रिभुज के तीनो कोण- अर्द्धको के प्रतिच्छेद बिंदु को अन्तःकेंद्र कहते है। 

माध्यिका ( Median )

 त्रिभुज की किसी भुजा के मध्य-बिंदु को सम्मुख शीर्ष से जोड़ने वाली रेखा को त्रिभुज की माध्यिका कहते है। 

केन्द्रक -  किसी त्रिभुज के तीनो माध्यिकाओं का कटान बिंदु त्रिभुज का केन्द्रक कहलाता है। 

दोस्तों आप सभी लोगों ने त्रिभुज के बारे में जानकारी हाशिल किया है। त्रिभुज के प्रकार कितने होते हैं और त्रिभुज के प्रॉब्लम्स देखे।  हर एक त्रिभुज के अलग-अलग प्रॉब्लम हम सभी लोगों ने साल्व्ड किया।  उम्मीद करता हूं कि हमारे द्वारा दी गई जानकारी से आप लोग संतुष्ट होंगे और आप लोगों का त्रिभुज से रिलेटेड जितने भी प्रॉब्लम थे।  वह सब सॉल्व हो जायेंगे, अगर कोई प्रॉब्लम है तो आप हमारे कमेंट बॉक्स में जाकर के हमें मैसेज टाइप कर सकते हैं और कोई भी क्वेश्चन हो आपका उसको भी हमारे साथ शेयर करिए मैं उसके जवाब आप लोगों को जरूर दूंगा थैंक यू दोस्तों।